...Misure fisiche - La misura in Fisica, riveste un’importanza fondamentale per poter fare delle affermazioni oggettive su un determinato fenomeno.

Fare una misura significa confrontare la grandezza che si sta studiando con un campione della stessa grandezza, preso come unità di misura ed esprimere questo confronto in modo numerico.   Se diciamo che una persona è alta, diamo una valutazione della lunghezza del suo corpo, ma questa non è una misura fisica.    Se diciamo che una persona è alta 1,70 metri stiamo confrontando la sua altezza con una lunghezza presa a campione che si chiama metro.    E così con tutti gli altri tipi di grandezze.   I campioni di misura adottati per le grandezze fondamentali hanno subito una evoluzione nei secoli, passando da campioni approssimati aventi le più svariate origini (si pensi per le lunghezze, ai pollici, alle braccia, ecc.) a campioni rigorosamente definiti e validi in modo universale.   Fu all’epoca di poco precedente la Rivoluzione francese che in Francia fu istituita una Commissione che aveva lo scopo di stabilire dei campioni di misura per la grandezze fondamentali che fossero presenti in natura ed immutabili nel tempo.   Alla fine dei lavori la Commissione presentò i suoi risultati.

     Campione di lunghezza:  fu scelta la 40-milionesima parte del meridiano terrestre che fu chiamata metro.

     Campione di tempo:         fu scelta la frazione 1/86.400 del giorno solare medio che fu chiamata secondo.

     Campione di massa:         fu scelta la massa di 1 dm³ di acqua distillata a 4°C che fu chiamata kilogrammo

   Per l’unità di misura della lunghezza si costruì successivamente un campione per quanto possibile inalterabile nel tempo, costituito da una barra di una lega di platino e iridio, con due incisioni agli estremi la cui distanza era 1 metro.   Il campione fu custodito (ed è ancora custodito) in ambiente controllato per temperatura, umidità ecc., nell’Ufficio Internazionale Pesi e Misure di Sèvres presso Parigi.   Misure successive e più precise del meridiano terrestre accertarono un piccolo errore nelle misure del 1790, per cui il metro campione risulta una frazione leggermente diversa da 40 milioni rispetto all’effettiva lunghezza del meridiano terrestre.   L’unità di misura della lunghezza ( metro ), è stata successivamente ridefinita negli anni, prendendo a campione delle quantità più rigorosamente inalterabili connesse con particolari fenomeni naturali.   Nel 1960, fu definito il metro come multiplo della lunghezza d’onda di una ben precisa radiazione luminosa, emessa da un atomo dell’isotopo 86 dell’elemento kripton. Attualmente, esso è definito attraverso la velocità della luce che risulta essere una costante universale:

viene definito un metro (1 m), la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un 299.792.458-esimo di secondo.

    Naturalmente, questo richiede una ridefinizione del secondo che sia altrettanto precisa, poiché il secondo, definito tramite la rotazione della Terra, non è più sufficiente a causa della presenza di alcune piccolissime irregolarità nella rotazione stessa:

viene definito un secondo (1 s), l’intervallo di tempo durante il quale avvengono 9.192.631.770 oscillazioni di un orologio atomico basato sull’elemento Cesio.

   Anche per l’unità di massa, un kilogrammo (1 kg), è stata costruita una unità campione con una lega di platino iridio, anch’essa custodita nell’Ufficio di Sévres.

   Inizialmente, l’insieme delle unità di misura fondamentali costituiva il Sistema di Misura denominato MKS (metro, kilogrammo, secondo).   Ad esso era associato il sistema dei sottomultipli denominato cgs (centimetro, grammo, secondo) ed il rapporto fra le diverse unità era dato da:

    Dopo il 1960, entrò in vigore il Sistema Internazionale S.I. come unico sistema di misure.Tuttavia, nella Fisica è ancora attualmente largamente usato anche il vecchio sistema dei sottomultipli cgs, per cui nel seguito, si daranno oltre le unità delle varie grandezze nel S.I. anche le unità nel sistema cgs e i relativi rapporti...

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 ...Grandezze scalari e grandezze vettoriali - Tutte le grandezze fisiche, sia le fondamentali che le derivate, possono essere distinte in due tipi:  

 grandezze scalari

    grandezze vettoriali

    La distinzione fra i due tipi è la seguente:

grandezze scalari sono quelle che possono essere definite usando una sola caratteristica (o parametro): l’intensità;

grandezze vettoriali sono quelle che per essere completamente definite hanno bisogno di tre parametri: intensità, direzione, verso.

    Esempi di grandezze scalari sono:      la massa, il tempo

                                                                 la lunghezza, l’area, il volume

                                                                 il lavoro, l’energia

                                                                 la temperatura

   Esempi di grandezze vettoriali sono:  lo spostamento

                                                                 la velocità, l’accelerazione

                                                                 la forza

   Nelle grandezze scalari l'intensità definisce l’ampiezza della grandezza in questione ed è sufficiente per definirla completamente.   Ad esempio affermare che un corpo ha massa 15 kg è completamente esaustivo  per definire quella particolare proprietà fisica del corpo chiamata massa.    Analogamente se diciamo che un corpo ha una temperatura di 36 gradi nella scala centigrada anche detta scala Celsius (36 °C), questo è sufficiente per definirne le caratteristiche rispetto a quella grandezza.

  Viceversa se vogliamo definire la velocità di un determinato oggetto non sarà sufficiente fornire il valore che definisce la sua intensità, per esempio 8 m/s, poiché un corpo che parta da un punto O (fig.1.2.8)a con velocità di 8 m/s dopo (per esempio 1 secondo) si potrà trovare in un punto qualsiasi della circonferenza di centro O e di raggio 8 metri.    Quindi la posizione del corpo nel fenomeno in esame non riesce ad essere definita assegnando soltanto il valore della intensità della velocità.

  Se oltre all’intensità della velocità, viene definita la direzione r lungo la quale si sviluppa questa velocità, il moto è certamente più definito ma ancora vi è ambiguità sulla posizione del corpo mobile fra P₁ e P₂ come mostrato in fig. 1.2.8)b.

   Sarà necessario allora un ulteriore parametro per chiarire se il punto si troverà, trascorso un secondo di tempo dall’inizio del moto, in P₁ ovvero in P₂.   Questo ulteriore parametro è il verso stabilito lungo la retta r che potrà essere positivo o negativo e che definirà senza ambiguità il moto del corpo: fig. 1.2.8)c.                

 Riassumendo, una grandezza scalare potrà essere rappresentata dal numero indicante la sua intensità, mentre una grandezza vettoriale richiede tre parametri: intensità, direzione, verso. Nel seguito ci si riferirà alla grandezze vettoriali chiamandole semplicemente vettori.  Usualmente nei testi italiani, un vettore si indica con una lettera indicante la grandezza con una freccia sovrapposta, oppure con una lettera con una semplice linea sovrapposta, nei testi anglosassoni invece il carattere vettoriale si indica con la lettera della grandezza scritta in grassetto ( v ).

   Per motivi tipografici in questi Quaderni , si utilizzerà nelle figure la notazione con freccia sovrapposta e nel testo la notazione in grassetto.   

La visualizzazione dei vettori, nel piano e nello spazio, viene realizzata tramite un segmento orientato, che abbia la lunghezza proporzionale all’intensità del vettore stesso, l’orientazione secondo la direzione del vettore ed una freccia ad uno degli estremi indicante il verso.    Se il vettore non ha un punto di applicazione ben determinato si parlerà di vettori non applicati, se invece il vettore è applicato ad un punto ben determinato si parlerà di vettori applicati. Nel caso di vettori non applicati ad un punto, il segmento orientato che li rappresenta, può essere traslato parallelamente (nel piano o nello spazio), senza alterare il fenomeno fisico in esame: fig.1.2.9)a.   Nel caso di vettori applicati invece il punto di applicazione risulta importante, anzi fondamentale, ai fini del risultato. In questo caso il relativo segmento orientato non potrà essere traslato parallelamente senza alterare il fenomeno fisico connesso, ma dovrà essere rappresentato nel preciso punto richiesto.

   In fisica, ci si trova spesso di fronte a casi di questo tipo. Si prenda ad esempio il caso di due forze F₁ ed F₂ uguali in intensità e direzione, ma con verso opposto. Se le due forze sono applicate al centro O di una ruota R, questa non subirà alcuno spostamento o rotazione: fig. 1.2.9)b.  Se invece le stesse forze sono applicate in due punti distinti P₁ e P₂ della ruota (ad esempio ai due estremi di un diametro), allora la ruota inizierà a girare: fig. 1.2.9)c.  Definite le grandezze vettoriali, è necessario ora stabilire le regole per eseguire le varie operazioni matematiche con i vettori. 

 Algebra dei vettori - Somma e differenza fra vettori - Dati i due vettori v e u si definisce somma fra i due, il vettore w definito nel seguente modo:

dati i due vettori addendi u e v rappresentati in fig.1.2.10)a, trasportiamo i relativi segmenti rappresentativi in modo da far coincidere il loro punto di partenza come in fig.1.2.10)b.  Costruiamo poi il parallelogramma sui due vettori v e u e tracciamo la diagonale partente dal punto comune: fig.1.2.10)c. Questa diagonale è il segmento rappresentativo del vettore somma w.  Questo metodo per trovare la somma fra due vettori è detto metodo del parallelogramma.

   Esiste un altro metodo per trovare la somma fra due o più vettori detto il metodo della poligonale (in realtà si tratta dello stesso metodo con diversa modalità di procedura)...

...Oltre la somma si può definire la differenza fra due vettori v e u come il vettore w dato dalla:

   Il vettore w è calcolato sempre facendo uso del parallelogramma costruito sui due vettori iniziali, prendendo però la diagonale secondaria.   Se i due vettori v e u di cui si cerca la differenza hanno i segmenti rappresentativi illustrati in fig.1.2.13)a, allora la loro differenza secondo l’equazione 1.2.25 è data dalla diagonale che parte da u ed arriva a v: fig.1.2.13)b.  Allo stesso risultato si arriva con un altro percorso logico: il vettore differenza w dato dalla 1.2.25) può essere scritto, applicando elementari regole algebriche, come:

La 1.2.25)a dice che per ottenere la differenza fra due vettori basta prendere il vettore opposto al sottrattore e sommarlo al sottraendo con le regole normali della somma di vettori: fig.1.2.13)c.   Con questo metodo inoltre, non c’è ambiguità nello stabilire il verso del vettore differenza w...

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 Errori di Misura - ...Qualsiasi tipo di misura di una qualsiasi grandezza fisica contiene errori di misura. Questo avviene perché qualsiasi strumento di misura usato è necessariamente imperfetto, è utilizzato da operatori umani necessariamente imperfetti e la misura è fatta in ambienti mai perfettamente ideali.   E’ valida questa sequenza di proposizioni:

• Tutti i fenomeni naturali possono divenire oggetto di studio fisico solo se possono essere soggetti a misura.
• Tutte le misure possono essere fatte solo attraverso strumenti idoneamente costruiti allo scopo.
• Tutte le misure dei fenomeni naturali sono soggette ad errori, quindi è impossibile conoscere il valore vero di una grandezza.

    La conoscenza degli errori commessi in una misura fornisce l’attendibilità della misura stessa, ovvero quanto essa si avvicina al valore vero della grandezza.           Facciamo degli esempi estremi per chiarire il problema: 

1. se un oggetto pesa forse 10 kg, ma potrebbe pesarne molti di più, ad esempio 100 kg, o di meno, ad esempio 1 kg, allora non avrò nessuna possibilità di sapere in anticipo se riuscirò a sollevarlo.
2. se un luogo dista forse 10 km, ma potrebbe distarne molti di più, ad esempio 100 km, o di meno, ad esempio 1 km, allora non avrò nessuna possibilità di sapere quanto tempo sarà necessario per raggiungerlo a piedi.

    Al contrario, se un oggetto pesa 1 kg con una incertezza di 0,1 kg e quindi il suo peso potrebbe compreso fra 9,9 kg e 10,1 kg, allora so che potrò alzarlo.  Ancora, se un luogo dista 10 km con una incertezza di 0,1 km e quindi la sua distanza potrebbe essere compresa fra 9,9 km e 10,1 km, allora so che in circa 3^h di cammino potrò raggiungerlo.
   La conoscenza dell’errore nella misura di una grandezza è fondamentale per la conoscenza del valore della grandezza stessa e quindi del fenomeno che si sta studiando: infatti una misura fisicamente corretta è sempre accompagnata dall’indicazione del suo errore. Nel caso dei precedenti esempi si dovrà scrivere: 

Tipi di errori - Gli errori di misura si distinguono:

 1) rispetto alla qualità in:                         errori sistematici

                                                                errori casuali 

 2) rispetto al valore numerico in:            errori assoluti

                                                                errori relativi

    Errori sistematici: sono quelli che intervengono nella misura a causa della modalità stessa della misura. Essi possono dipendere: 

• dall’esperimento concettualmente errato
• dallo strumento di misura perché difettoso
• dall’operatore della misura 

    Essi sono sempre o in difetto, o in eccesso, non sono quantificabili e non sono eliminabili, se non modificando l’esperimento che porta alla misura, o cambiando gli strumenti usati. Facciamo alcuni esempi:

• se misuriamo la profondità di un pozzo dal tempo impiegato da un grave a cadere, basandoci sul rumore della caduta, commettiamo un errore dovuto all’attrito dell’aria, che rallenta la caduta del grave ed un altro errore dovuto al tempo necessario al suono a ripercorrere la distanza fino a noi;
• se misuriamo un intervallo di tempo con un orologio che “va avanti”, significa che assegneremo al fenomeno un intervallo di tempo sempre maggiore di quello effettivo;
• se un velocista è traguardato al suo arrivo da un operatore lento di riflessi, il suo tempo risulterà sempre maggiore del tempo reale.

    Tutti questi sono errori sistematici, in eccesso o in difetto, ma comunque non valutabili e non eliminabili.

    Errori casuali: sono dovuti ad innumerevoli cause grandi o piccole, che influenzano la misura momento per momento, dovuti a variazioni dell’ambiente, all’operatore, a variazioni istantanee dello strumento.   Possono essere indifferentemente in eccesso o in difetto, non sono controllabili, ma sono valutabili. La valutazione degli errori casuali e la loro influenza sulla conoscenza del valore vero della misura, viene trattata estensivamente nella Teoria degli errori  di cui daremo qui soltanto alcuni risultati.   Introduciamo, relativamente alla misura x di una determinata grandezza, i seguenti concetti:

   Questa somma di tutte le misure effettuate per la grandezza x nelle stesse condizioni di misura, divisa per il numero delle misure stesse, viene considerato il valore più probabile della misura.   Di conseguenza l’errore relativo ad ogni singola misura x_i (misura i-esima), è valutato confrontando la misura stessa con l’espressione 1.3.3):

mentre l’errore massimo di tutte le misure sarà:...

...Distribuzione degli errori casuali - Nel caso fosse disponibile un buon numero di misure fatte nelle medesime condizioni della stessa grandezza, è possibile rappresentare queste misure in un diagramma cartesiano, chiamato istogramma, operando nel seguente modo: 

• nelle ascisse viene definita una scala che comprenda tutti i valori delle misure ricavate;
• questa scala viene divisa in intervalli che vengono chiamati “canali” (bins in inglese);
• ogni misura viene posizionata nel canale che comprende il suo valore, indicandola con un simbolo qualsiasi (x, *, #, ecc.). Misure successive nello stesso canale vengono sovrapposte secondo una scala di interi opportuna: fig.1.3.1); il grafico può essere completato da una spezzata che congiunga i livelli nei vari canali.  

 Un esempio numerico chiarirà completamente la procedura. Supponiamo di voler misurare il tempo di una oscillazione completa di un pendolo...

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